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学人提问 [PROMPT]：请证明对任意质数 \( p > 3 \)，\( p^2 - 1 \) 必能被 24 整除，并列出因式分解与整除逻辑。
DeepSeek-R1 学习伴读助手
推演论断：严密闭合
REASONING_LOG // 显式思维链 · 2.9s
CTX: 418 / 131,072 TOKENS
1. 命题审阅：对质数 p > 3，验证 24 | (p² - 1)。
2. 因式展开：p² - 1 = (p - 1)(p + 1)，为两个连续偶数之积。
3. 整除 8 验证：因为 p 是奇数，p - 1 和 p + 1 连续两偶数中必有一个能被 4 整除，故其乘积必然被 2 × 4 = 8 整除。
4. 整除 3 验证：连续三个整数 (p - 1), p, (p + 1) 中必有 3 的倍数；因 p 为大于 3 的素数，3 不能整除 p，故必有 3 | (p - 1)(p + 1)。
5. 合并条件：gcd(8, 3) = 1，故 24 | (p² - 1)。命题在形式化上完全成立。
2. 因式展开：p² - 1 = (p - 1)(p + 1)，为两个连续偶数之积。
3. 整除 8 验证：因为 p 是奇数，p - 1 和 p + 1 连续两偶数中必有一个能被 4 整除，故其乘积必然被 2 × 4 = 8 整除。
4. 整除 3 验证：连续三个整数 (p - 1), p, (p + 1) 中必有 3 的倍数；因 p 为大于 3 的素数，3 不能整除 p，故必有 3 | (p - 1)(p + 1)。
5. 合并条件：gcd(8, 3) = 1，故 24 | (p² - 1)。命题在形式化上完全成立。
推演论断成立，中轴碑铭记录形式化摘要如下：
/* DeepSeek Stele Formal Proof */
Theorem: For any prime p > 3, 24 | (p^2 - 1).
Proof:
p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1).
p is odd ==> (p - 1) and (p + 1) are consecutive evens ==> 8 | (p^2 - 1).
3 does not divide p ==> 3 | (p - 1)(p + 1) ==> 3 | (p^2 - 1).
Since gcd(8, 3) = 1, 24 | (p^2 - 1). Q.E.D.